Calcul : règle du n-ième terme de la séquence 3,6,9,12 à connaître

Un alignement de chiffres qui avance, inlassable, comme les wagons d’un train sur leurs rails : voilà la séquence 3, 6, 9, 12. Les adultes y voient une suite banale, mais pour beaucoup d’enfants, elle a le parfum mystérieux des premiers calculs autonomes. Derrière chaque addition, ils devinent la promesse d’un ordre caché, une structure simple qui transforme l’arithmétique en terrain de jeu.

Pas après pas, la même cadence : la séquence 3, 6, 9, 12 ne se contente pas d’empiler des chiffres, elle expose une mécanique régulière. Trouver la règle qui permet de deviner le terme au rang n, c’est comme mettre la main sur un plan secret, celui qui dévoile l’architecture de la progression.

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Pourquoi la suite 3, 6, 9, 12 captive-t-elle à ce point les élèves ?

En salle de classe, la suite 3, 6, 9, 12 s’invite fréquemment pour introduire les suites arithmétiques. Si elle est si prisée, c’est pour sa clarté immédiate et l’effet d’entraînement qu’elle suscite : chaque terme surgit, fidèle, grâce à une addition répétée, ce qui rassure et aiguise le sens logique des jeunes esprits.

La régularité de cette suite agit comme un terrain d’expérimentation idéal. Rapidement, les élèves flairent le schéma : passer de 3 à 6, puis 9, puis 12, les pousse à échafauder des théories, à percer le mécanisme. Quand la notion de raison apparaît — ici, le chiffre 3 — un déclic se produit. Soudain, tout s’éclaire : chaque terme naît d’une addition identique, et cette découverte donne aux élèves l’impression de tenir entre leurs mains une clef mathématique universelle.

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L’attrait grandit à mesure que les élèves anticipent les termes suivants et valident leurs prédictions. On assiste alors à des défis amicaux, à l’invention de suites cousines, à l’éclosion d’une curiosité nouvelle pour les nombres et leurs secrets.

• Avec la suite 3, 6, 9, 12, la notion de progression devient tangible.
• Elle offre un accès direct à la notion de règle du n-ième terme : savoir calculer n’importe quel terme, quel que soit son rang.
• La simplicité de l’enchaînement facilite l’assimilation de la logique mathématique.

La séquence 3, 6, 9, 12 séduit aussi par son évidence. Comme un fil rouge, elle permet aux élèves de tester, de vérifier, de construire leur propre compréhension du calcul. Un pas régulier, une logique limpide, et l’assurance d’être prêt pour des défis plus corsés.

Les bases à connaître sur les suites arithmétiques

Maîtriser la suite arithmétique, c’est comprendre deux piliers : le premier terme et la raison. La raison, c’est cette constante qui relie chaque terme au précédent. Pour la séquence 3, 6, 9, 12, le premier terme s’affiche : 3. La raison, elle aussi, s’impose : 3.

La formule générale qui régit une suite arithmétique s’écrit :

uₙ = u₁ + (n – 1) × r

Ici, uₙ représente le terme de rang n, u₁ le premier terme, r la raison. Cette formule a un avantage de poids : inutile d’énumérer toute la suite, il suffit de remplacer n pour connaître le terme cherché.

• Pour la suite 3, 6, 9, 12 : u₁ = 3 et r = 3. On obtient donc uₙ = 3 + (n – 1) × 3.
• Calculer le cinquième terme ? Remplacez n par 5 : u₅ = 3 + (5 – 1) × 3 = 15.

Les suites arithmétiques irriguent toutes sortes de raisonnements : algorithmique, physique, économie… Leur régularité en fait un outil précieux pour anticiper des séries à progression constante. Savoir repérer la raison et manipuler la formule générale, c’est ouvrir la porte à toutes sortes d’analyses et d’extrapolations.

Comment trouver le n-ième terme de cette suite, pas à pas ?

Pour déterminer le n-ième terme de la suite 3, 6, 9, 12, il suffit de dérouler une méthode limpide, apprise dès le collège. La progression, qui intrigue tant, repose sur l’invariabilité de la raison.

• Repérez le premier terme : 3.
• Notez la raison (l’écart entre deux termes successifs) : encore 3.
• Appliquez la formule de base :

uₙ = u₁ + (n – 1) × r

Pour la suite qui nous occupe, la formule devient : uₙ = 3 + (n – 1) × 3.

Un exemple concret ? Pour n = 6 :

u₆ = 3 + (6 – 1) × 3 = 3 + 15 = 18.

Cette démarche, d’une limpidité redoutable, rend la règle accessible même à ceux qui rechignent à manipuler les lettres et les parenthèses. Les enseignants misent sur ce genre de séquence pour installer la notion de logique mathématique et familiariser les élèves avec la structure des suites.

Cette mécanique s’applique à n’importe quelle suite arithmétique : repérez le premier terme, la raison, déroulez la formule. Une fois ce réflexe acquis, il devient aisé de s’attaquer à d’autres progressions ou à des situations où la régularité fait loi.

Exemples concrets et astuces pour retenir la règle sans effort

Dans la vie courante, la suite arithmétique 3, 6, 9, 12 surgit partout où règne la régularité : suivi d’un budget, constitution d’une épargne, horaires de trains. Retrouver ce schéma d’ajout constant, c’est s’offrir la possibilité de prévoir, d’anticiper, d’organiser. Dès le collège, enseignants et élèves s’appuient sur cette suite pour ancrer la notion de progression régulière.

• Gérer ses économies : chaque mois, on ajoute la même somme à un pécule de départ. La règle du n-ième terme permet d’évaluer le capital à une échéance donnée.
• Planifier des rendez-vous réguliers : un intervalle fixe entre chaque événement, et la formule uₙ = 3 + (n-1) × 3 donne la date ou la fréquence attendue.

Pour ancrer la règle en mémoire, rien ne vaut une image parlante. Imaginez une échelle dont chaque barreau s’élève de trois unités. Cette métaphore visuelle ancre la notion de raison constante dans l’esprit.

Multiplier les exercices courts, varier les contextes, c’est la clé pour rendre le raisonnement automatique. Posez-vous la question : « Quel sera le 10^e terme ? » et validez aussitôt avec la formule. À force de répétition, la logique s’installe, l’assurance grandit.

Un dernier repère : faites de la formule une petite ritournelle mentale. Répétez « premier terme plus (n-1) fois la raison » — la musique des mots aide la mémoire, bien plus qu’une formule froide griffonnée au tableau.

À chaque nouveau pas dans cette suite, la prévisibilité s’offre comme une promesse. Les chiffres avancent, la logique ne faiblit pas. Derrière cette mécanique, un terrain fertile pour l’esprit, prêt à accueillir les futures énigmes du calcul.